CABLE SPATIAL

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Septembre 2011

REMARQUE PRELIMINAIRE :

Le visiteur est prévenu que cette étude prospective résulte de la lecture vulgarisée de concepts nouveaux envisagés par le JPL de la NASA dans les années 1990. Les calculs envisagés par l'auteur, sortent de son imagination et de son envie de comprendre par des résultats concrets, la possibilité de mettre en œuvre telle ou telle idée plus ou moins réaliste qui n'a pas encore été testée.

Les calculs peuvent donc quelquefois se révéler erronés ou la théorie mal comprise. L'auteur s'en excuse et si tel était le cas, il appréciera beaucoup les critiques et les suggestions qui pourraient améliorer les informations fournies. Le chapitre serait alors modifié en conséquence.

L'auteur répète donc que les relations établies et les valeurs numériques annoncées sont issues de sa seule réflexion. Une confirmation lui ferait le plus grand plaisir.

Quelques adresses :

http://www.estec.esa.nl/spaceflight/astronaut/eacpr/bios/cv_ug_fr.htm : Satellites captifs et production d'électricité

I CONCEPT DE CABLE SPATIAL :

Le système le plus simple est celui de 2 satellites de masse m et M reliés par un câble assimilé à un fil.

Remarques physiques :

Supposons initialement que le câble ne soit pas tendu et que les 2 masses ne soient pas sur la même orbite. Alors la masse la plus basse "tourne plus vite" que celle qui est plus haute. La distance entre m et M ne peut donc que croître et le câble finira par se tendre ( au prix certainement de quelques secousses ou oscillations ).

On peut aussi indiquer sans démonstration que même si la masse M est au départ "devant" la masse M, elle finira par passer et "traîner" derrière la masse m qui jouera un rôle moteur.

A partir de l'instant où une tension existe dans le câble, elle agit de façon très différente sur chaque masse.

T1 freine m et T2 accélère M. Cette propriété est reprise sous le nom de "TRANSFERT DE QUANTITE DE MOUVEMENT", nous verrons plus loin dans les applications comment l'utiliser.

Position d'équilibre stable : Un équilibre relatif existe avec les 2 masses et le "fil" alignés vers le centre Terre. En effet dans cette configuration, aucun moment au centre d'inertie ne contraint le système à s'éloigner de cette position d'équilibre. C'est une des applications du gradient de gravité dont l'effet se fait surtout sentir sur les ensembles "allongés".

Pourquoi le câble serait-il tendu?

Admettons que nous ayons trouvé la bonne altitude r du centre d'inertie G du système. Alors les points m, G, M tournent alignés sur les cercles C1, C, C2 avec les vitesses angulaires w₁, w, w₂, égales entre elles.

Or, la masse du bas devrait en képlérien sous l'effet de la gravitation, tourner plus vite ( w₁ > w) et celle du haut moins vite ( w <w₂) , si ces masses étaient non reliées. Il en résulte que la force de gravitation du bas devrait donc entraîner m vers le bas et que celle du haut devrait tendre à élever son altitude. Ces deux effets conjugués "tendent" le câble qui est donc soumis à une tension T qui rigidifie le câble.

Conséquence :

Les masses m et M ne sont pas en "apesanteur" et sont le siège d'une microgravité, dont l'intensité dépend des dimensions du système.

Applications possibles: C'est une question qui préoccupe les astrophysiciens depuis les années 1980, tant les applications peuvent sembler intéressantes. Cependant la mise au point n'est pas encore réalisée ou disons que le besoin ne s'en pas encore fait sentir.

Les domaines à explorer sont très divers :

a) Applications circumterrestres

  Installations de stations captives en orbite basse autour de la Terre. Voir principe et calculs

  Réalisation d'une gravité artificielle, expériences en microgravité. Voir exemple

  Utilisation des propriétés électrodynamiques d'une atmosphère :

Pour générer des courants dans le câble ( production d'énergie) en utilisant le champ magnétique terrestre et bouclant le circuit sur le plasma environnant ou au contraire envoyer un courant

Ou

Injecter un courant injecté dans le câble et utiliser le champ magnétique pour créer une force de freinage ou d'accélération suivant le sens du courant. Le câble devient alors moteur.

SCAO : Stabilisation d'une plate-forme en commandant le déplacement du point de fixation d'un câble.

Satellisation d'un OTV avec gain d'énergie sans ergols

Déorbitation d'une capsule de rentrée sans dépense d'ergols

b) Applications planétaires

  Descente de matériels à partir d'une station orbitale, vers une planète pour en observer la surface de plus près ou en pénétrant une possible atmosphère, y prélever des échantillons.

  Installations de stations captives en orbite basse, autour de la Lune ou de Mars.

POUR DES MISSIONS MARTIENNES FUTURES : Utilisation de câbles fixés sur Phobos et Deimos, pour transférer des charges d'une orbite martienne basse (en remontant vers Phobos) puis relevée au dessus de Phobos, avant d'être reprises par un câble fixé à Deimos. On pourrait ainsi aller d'une orbite basse vers une orbite haute d'évasion à moindre coût propulsif. ( Voir problème dédié )

AUTOUR DE JUPITER : Utilisation des propriétés électrodynamiques d'une atmosphère :

Pour générer des courants dans le câble ( production d'énergie) en utilisant le champ magnétique puissant de Jupiter.

 COMETES : Prélèvements de matière à la surface d'une comète ou étude in situ, avec un câble relié à un orbiteur stationnaire par rapport à la comète.

Etc..

I PROBLEME 1

Voir solution

Constante de gravitation de la Terre : m = 39,86 10⁴ km³ s^-2

Rayon terrestre équatorial R = 6378 km

Période sidérale de la Terre Tt = 86164,1 s = 23h 56mn 4,1 s

1°) Avec deux corps assimilables à des points et un câble sans masse, calculer la vitesse d'orbitation circulaire du centre d'inertie G, à une altitude r.

Données :

M, m masses respectivement haute et basse

R, r rayons vecteurs associés

L = R - r la longueur du câble.

Cas particulier L= 0 ?

2°) Approximation des câbles courts : câbles de longueur faible par rapport au rayon vecteur (100 km maximum ). On pose l = m/(M+m) sans dimension et le rapport e = L/r petit.

Le calcul relève d'un développement limité à l'ordre 2, un peu pénible mais donnant un résultat simple.

Montrez que :

Application numérique : M = 25000 kg, m = 5000 kg, r = 300 km, L = 20 km

Calculer la vitesse de G, commentaires? La vitesse angulaire du câble, les vitesses respectives de M et m. Vous retrouverez qu'une masse va moins vite et que l'autre a une vitesse supérieure à la vitesse képlérienne. Vous évaluerez ces écarts.

3°) Calcul de la tension du câble :

Ce calcul s'opère avec la loi fondamentale appliquée à chacune des masses séparément. Vous devriez confirmer les calculs en trouvant une tension identique dans les 2 calculs.

4°) Calcul du niveau de microgravité à bord du satellite captif. On prendra les valeurs numériques de 2°)

II PROBLEME 2

Voir solution

NB initial : Il est impératif d'avoir traité le problème 1 pour aborder le problème 2

La NASA a lancé un concours pour étudier la possibilité de mettre en orbite un ensemble câblé, entre une station au sol et une en orbite, de telle manière que le câble reste constamment vertical. Ce système pourrait permettre la mise en orbite d'un satellite en le faisant "grimper" le long du câble et en le libérant ensuite ( à examiner de plus près sur le plan mécanique et pour le mouvement local du câble ).

Quelles que soient les masses m et M, l'ensemble devra donc tourner en géostationnaire, c'est à dire à une vitesse angulaire strictement identique à celle de la Terre autour de son axe.

On pose r = k R_T , l = m/(M+m) , a_g = 42164 km est le rayon géostationnaire képlérien

1°) Calculer la valeur de k qui autorise la position géostationnaire du câble . On repartira de la relation

1°) RESOLUTION :

Vous établirez les relations :

puis

Pour m = 0 retrouver un cas classique, universellement exploité.

2°) CAS SIMPLE : Les 2 stations sont de masse identique M et le câble sans masse. Calculer la valeur de k qui permet de garder le câble vertical. Quelle est l'altitude de la station supérieure? Commentaires.

Pour d'autres valeurs de l comme par exemple 0.2, calculer la longueur du câble. Commentaires.

III QUESTIONS 3

Voir solution

CAS D'UN CABLE MASSIQUE : On exprimera les résultats en fonction de r rayon vecteur du milieu du câble, de la longueur L et de la masse m.

Etablissons 2 relations concernant un câble cylindrique homogène, supposé en position d'équilibre radial.

1°) Calculer l'énergie potentielle U du câble

2°) Calculer la norme F de la force de gravitation s'exerçant sur la câble. Soit par un calcul direct d'intégration, soit par le gradient de U

NB : Naturellement quand nous aurons besoin de cette force, elle sera supposée appliquée au milieu I du câble.

IV CÂBLES DE TRANSPORT AUTOUR DE MARS

Voir solution

Un des problèmes majeurs posés par la conquête habitée de Mars est l'emport de carburant permettant outre l'insertion en orbite martienne, le départ vers la Terre qui nécessite de dépasser la vitesse de libération au niveau où se trouve la station.

Un projet futuriste ( Origine JPL = Jet Propulsion Laboratory de la NASA ) a lancé le concept que l'on pourrait utiliser le satellite de Mars nommé PHOBOS comme point d'ancrage de 2 câbles reliant une station orbitale B captive basse ( sous Phobos ) à une station orbitale captive haute H ( au dessus de Phobos ). Le transfert se ferait par un système élévateur qui transporterait les charges du bas vers le haut ou réciproquement.

DONNEES PHOBOS : satellite de Mars de diamètre 16 km environ

Constante de gravitation de Mars : m = 4.305 10⁴ km³ s^-2

Rayon terrestre équatorial R_M = 3400 km

Orbite quasi circulaire à 9375 km du centre de Mars.

CONFIGURATION ENVISAGEE :

La station basse B est au rayon r, la haute H l'est au rayon R+L. L'ensemble est supposé stabilisé suivant la verticale de Phobos. Les stations ont pour masse M.

1°) Donner en fonction de R la vitesse circulaire de Phobos, la vitesse angulaire commune de H,B, Phobos.

Enfin les vitesses V_B V_H respectives de B et H

2°) Quelle est la vitesse de libération V_LH au niveau de la station H. En déduire D(L) = V_H - V_LH en fonction de L, puis de K = L/R.

Pour quelle valeur atteint-elle la libération?

APPLICATION NUMERIQUE :

Tracer la courbe de D(L) en fonction de L de L=0 à L=5R

A quelle distance du centre de Mars doit se trouver la station haute pour être à la limite de la libération?

Calculer D(L) et L pour K=1. Commentaires.

Donner la valeur de K qui annule D(K).

3°) Commentez une utilisation des 2 câbles pour un transfert de charges soit vers le bas, soit vers le haut.

4°) Pour une station haute de 30 tonnes à une altitude de 2R calculer la tension T du câble. Adoptez une résistance en traction de 50 daN/mm² et commentez. Puis reprenez le problème avec un câble plus court ( celui donnant juste la libération ) et une masse de 3 tonnes seulement.

5°) En fait le JPL de la NASA avait imaginé encore plus compliqué, en supposant qu'un câble fixé sous Deimos, pourrait récupérer une charge amenée par un câble haut fixé sur Phobos, et la transférer au-dessus de lui.

??? De toute évidence la récupération ne peut se faire d'un câble vers l'autre car les vitesses des extrémités des câbles sont notablement différentes et le câble casserait, de plus le rendez-vous ne serait pas aisé avec les oscillations des câbles.

La procédure imaginée consiste à remonter, par le câble au dessus de Phobos, le véhicule à une distance d au-dessus de Phobos, telle qu'avec la vitesse V acquise, elle puisse venir en rendez-vous avec l'extrémité basse d'un câble de longueur D traînant sous Deimos. La prise en charge s'effectue alors et on procède ensuite comme en 4°) avec un transfert au-dessus de Deimos pour atteindre ou dépasser la libération.

DONNEES DEIMOS : Satellite de Mars de 8 km de diamètre.

Orbite supposée circulaire de R* = 23400 km de rayon

a) FAISABILITE DU CONCEPT :

Est-il possible de calculer une longueur d de câble déployée au-dessus de Phobos, telle que la charge H libérée ( puisqu'elle gagne de la vitesse) à une vitesse V=V_P, passe à un apogée A sous Deimos, à la vitesse V_a où elle trouverait à cette même vitesse Va ( puisque sous Deimos, il y a perte de vitesse) l'extrémité basse B d'un câble de longueur D sous Deimos.

1 - Avec la loi des aires sur l'ellipse de transfert, vous montrerez que d et D doivent vérifier :

2 - Avec l'équation de l'énergie sur le transfert montrer que

3 - Application numérique :

Calculer d, D.

Vérifier la concordance des vitesses de rendez-vous à l'apogée du transfert.

b) FIN DES CALCULS :

Si le scénario est réaliste et réalisable, vous recommencez tous les calculs en faisant de Deimos le remplaçant de Phobos pour atteindre juste la libération. Comparez.

 6°) ASPECT ENERGETIQUE :

On reprend la mission conjointe Phobos-Deimos, avec une charge de 3000 kg. En mission classique, un moteur doit délivrer un incrément de vitesse DV, pour placer la charge basse B en libération, donc par exemple à 940 km sous Phobos.

a) Calculer DV et la masse du moteur pour w = 0.1 et Isp = 4400 m/s ou 448.52 s

 b) Pour le transport par câbles, imaginons un moteur électrique faisant "grimper" la charge à 2 m/s ( valeur prévue par le JPL ) le long du câble, avec un rendement de l'ordre de 0.8. Calculer la puissance moyenne P et la durée T du transport.

VI L ANCEMENT D'UN OTV ou DEORBITATION D'UNE CAPSULE DE RENTREE

Ce sont probablement les applications les plus prometteuses et les plus faciles à tester.

1 - A partir d'une station orbitale, à laquelle peuvent venir s'arrimer des véhicules, donc destinés ultérieurement à un retour atmosphérique une manœuvre de déorbitation est nécessaire.

On voit donc là l'usage d'un câble "bas", puisque la charge placée au bout est ralentie par rapport à la vitesse képlérienne.

2 - Un véhicule peut très bien être assemblé par morceaux au niveau de la station et ensuite mis en orbite. L'usage d'un câble "haut" s'impose, puisque la charge placée au bout a une vitesse plus grande que la vitesse képlérienne au même niveau

3 - Pour éviter une "réaction" de la station par échange de quantité de mouvement, il est possible d'imaginer les 2 opérations couplées, avec des masses haute et basse bien choisies et des câbles haut et bas adaptés.

C'est l'objet des calculs qui suivent.

A - DEORBITATION D'UNE CAPSULE :

Supposons une station orbitale comme l'ISS

I SOLUTION 1

1°) La loi fondamentale en G, et les relations associées au barycentre donnent :

Cas particulier : Naturellement, nous retrouverons la vitesse képlérienne classique

2°) Approximation des câbles courts:

Avec l , e et r il vient la valeur exacte de la vitesse

Un développement limité à l'ordre 2 donne alors :

Application numérique : r = 6678 km, e = 2.995 10^-6, l = 0.1666666

Vitesse képlérienne VK (300)= 7725.8352 m/s

Vitesse de G : r = 6661.3333 km, R = 6681.3333 km, on retrouve L = R - r = 20 km

V(câble en G) = 7725.8352*(1+1.8686 10^-6 ) = 7725.8496 m/s soit une différence avec la vitesse képlérienne de 0.01444 m/s de l'ordre du cm/s.

Vitesse angulaire du câble : w = 7725.8496 / 6678000 = 1.1569107 10 ^-3 rd/s, ce qui donne les vitesses de M et V(m) = 1.1569107 10 ^-3 *6661.8352 = 7706.568 m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7735.494 m/s, soit une différence de 28.93 m/s ce qui n'est pas négligeable.

Pour m on a de même V(M) = 1.1569107 10 ^-3 *6681.3333 = 7729.908.706 m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7723.908 m/s, soit une différence de 5.798 m/s.

NB : On aurait pu calculer les vitesses des masses M et m par :

3°) Tension du câble :

Le calcul non détaillé donne :

Ce sont des tensions extrêmement faibles, ce qui laisse supposer que la technique du déploiement en orbite doit se révéler très délicate, car le câble est "mou".

4°) Calcul du niveau de microgravité à bord du satellite captif.

Cette microgravité est l'accélération qui résulte des forces autres que la gravitation, ce qu' EINSTEIN nommait la force spécifique ou encore accélération spécifique.

En l'occurrence il s'agit ici de l'accélération crée par T, soit G = T/M = 1.34 10^-6 m/s² sur M et 6.7 10^-6 m/s² sur m

II SOLUTION 2

1°) Calcul de w :

En traduisan0t que la vitesse angulaire est celle d'un géostationnaire( ou celle de la Terre ), on obtient tous calculs faits :

Cette équation F(k, l) = Cste fournit la valeur de k correspondant à la configuration l. Naturellement pour m = 0 et donc l = 0, on doit retrouver que k = a_g /R_T , confirmant une seule masse en géostationnaire.

2°) APPLICATION NUMERIQUE POUR m = M :

Alors l = 1/2 la résolution consiste à chercher le zéro de G(k) = 0 , le calcul donne k = 145.5 soit une station au sol et la deuxième identique à 145 rayons terrestres, R= 924810 km, pratiquement à la limite de la sphère d'influence.

Pour l = 1/5 le calcul donne k=57.833 soit R=368859 km pratiquement au niveau de la lune,

III SOLUTION 3

1°) Calcul du potentiel U de gravitation :

On intègre de même :

2°) Calcul de la force de gravitation résultante:

On procède à une intégration sur les éléments de longueur dm = m/L dr

Ou encore en dérivant U par rapport à r et en ne gardant que la norme.

IV CABLES DE TRANSPORT AUTOUR DE MARS

1°) CALCUL DES VITESSES :

De manière évidente on a :

2°) CALCUL DE D(L) ET VARIATIONS :

Sans détailler :

APPLICATIONS NUMERIQUES :

Vphobos = 2.143 km/s

Un calcul simple montre que D(K) s'annule pour K=0.25992, soit L = 2436.8 km ce qui est une longueur tout à fait réalisable.

La vitesse de libération est donc atteinte pour une station à 11812 km du centre de Mars.

NB : pour K=1 on trouve un supplément de vitesse au dessus de la libération de 2.149 km/s ce qui est déjà très conséquent.

3°) UTILISATION DU CONCEPT :

Par exemple, une capsule habitée pourrait quitter la station basse B, s'élever ( par un processus à mettre au point ) vers Phobos, changerait de câble pour s'élever au dessus de Phobos, suffisamment loin pour atteindre une vitesse plus grande que la libération lui permettant de revenir sur Terre en un temps raisonnable.

Réciproquement, arrivant de la Terre, une capsule ou du matériel pourraient être récupérés par un câble et transférés vers une orbite de travail plus basse. Reste à étudier la faisabilité de ces procédures !!!!

4°)a) Pour une station haute de 30 tonnes à une altitude de 2R calculer la tension T du câble.

Supposée stabilisée la station est soumise à 2 forces colinéaires: la tension T et la gravitation. La loi fondamentale donne donc :

Valeur prohibitive, qui donnerait un câble de section 48 mm² pour une résistance de 50 daN/mm²

b) Même calcul au niveau donnant la vitesse de libération, soit 11812 km et une station de 3 tonnes:

La valeur devient acceptable avec une section de 4.4 mm², cependant la longueur du câble est de 2.062 10⁶ m, ce qui conduit à un volume de câble de 9 m³, et donc avec une densité même de l'ordre de 2000 kg/m3, pour des composites, il y va de 18 tonnes de câble, de quoi réfléchir notamment au déploiement.

3 - Application numérique :

Calculer d, D:

	R = 9750 km R* = 23400 km d = 937.25 km longueur du câble haut de Phobos
	D = 2792.54 km longueur du câble bas de Deimos

Vérifier la concordance des vitesses.

Vitesse au périgée transfert	Vp = 2.3037 km/s
Vitesse apogée transfert calculée par la loi des aires	Va = 1.0646 km/s
Distance apogée transfert calculée par la loi de l'énergie	2a = 31294.8 km Ra = 2a - Rp = 20607.5 km
Distance apogée transfert calculée par Deimos	R* = 23400 km Ra = R* - D = 20607.5 km

Calculs parfaitement confirmés. L'opération nécessitera un câble de 938 km pour Phobos et un de 2793 km pour Deimos. Ce sont des valeurs tout à fait accessibles avec les technologies actuelles.

Le scénario imaginé par le JPL de la NASA est donc concevable. La précision du rendez-vous et des commandes associées aura, à coup sûr, raison des difficultés du concept. Attendons les années 2020-2030.

FIN DES CALCULS ET COMPARAISON :

Nous utilisons encore la formule

dans laquelle R est le rayon orbital de Deimos.

La valeur de K pour laquelle la vitesse est celle de libération est K=0.25992 correspondant à L = 6082.13 km.

Tension extrêmement faible qui incite à pousser plus loin l'étude de ce dernier scénario.

5°) ASPECT ENERGETIQUE :

a)  Calcul de DV pour placer la charge basse B en libération à 940 km sous Phobos:

Altitude r = 9750 - 940 = 8810 km

Vitesse initiale de B V_B1 = 1.9974 km/s , en tenant compte du câble. La vitesse képlérienne aurait été de 2.210 km/s

Vitesse de libération en B V_LB = 3.1254 km/s

Incrément de vitesse DV = 3125.4 - 1997.4 = 1128 m/s

Notons Ms, Mp les masses de structure et d'ergols avec Ms = wMp, alors :

donnant Mp = 903 kg , Ms = 90.3 kg

Donc il faut pratiquement une tonne supplémentaire pour réaliser l'évasion.

 b) PUISSANCE DU MECANISME ELEVATEUR :

En pratique, le mécanise doit fournir l'énergie nécessaire pour le gain de potentiel gravitationnel, soit :

Passage à l'aide de Phobos de 8810 km à 9750+937.3 = 10687.3 km soit DE1

Passage à l'aide de Deimos de 23400 - 2792.5 =20607.5 km à 23400 + 6082 = 29482 km, soit DE2

Donc une énergie E =3000*1.4872 = 4.462 GigaJoules, pour une altitude totale de 10731 km, à 2 m/s soit en 5365500 s pratiquement en 62 jours, soit donc une puissance moyenne de 831.6 Watts = 0.832 KW

Commentaires : le kg demande en moyenne une puissance de l'ordre de 0.28 Watts

Pour 3000 kg, l'énergie consommée, en termes classiques, est de l'ordre de 0.83 KWh. Ce qui représente une puissance très faible qui pourrait laisser espérer une montée plus rapide.

Guiziou novembre 2005, sept 2011